সম্পূর্ণ লেকচার দেখার জন্য অনুগ্রহ করে আপনার Google অ্যাকাউন্ট দিয়ে লগইন করুন। এটি সম্পূর্ণ ফ্রি!
পদার্থবিজ্ঞানে যেসব রাশি দিয়ে আমরা প্রকৃতির বিভিন্ন ঘটনা ব্যাখ্যা করি, সেগুলোকে প্রধানত দুই ভাগে ভাগ করা যায়: স্কেলার রাশি ও ভেক্টর রাশি।
যে ভৌত রাশিকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করতে শুধুমাত্র মানের (magnitude) প্রয়োজন হয়, দিকের প্রয়োজন হয় না, তাকে স্কেলার রাশি বলে।
ভর (mass), দূরত্ব (distance), দ্রুতি (speed), কাজ (work), শক্তি (energy), তাপমাত্রা (temperature), সময় (time), বিভব (potential), জড়তার ভ্রামক (moment of inertia)।
যে ভৌত রাশিকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করতে মান ও দিক উভয়ের প্রয়োজন হয় এবং যা ভেক্টর যোগের সূত্র (ত্রিভুজ/সামান্তরিক সূত্র) মেনে চলে, তাকে ভেক্টর রাশি বলে।
সরণ (displacement), বেগ (velocity), ত্বরণ (acceleration), বল (force), ভরবেগ (momentum), টর্ক (torque), কৌণিক ভরবেগ (angular momentum), তড়িৎ ক্ষেত্র (electric field), চৌম্বক ক্ষেত্র (magnetic field)।
মান ও দিক থাকলেই কোনো রাশি ভেক্টর হবে না। তাকে অবশ্যই ভেক্টর যোগের নিয়ম মেনে চলতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, তড়িৎ প্রবাহ (electric current) এর মান ও দিক আছে কিন্তু এটি ভেক্টর যোগের সূত্র মানে না, তাই এটি স্কেলার রাশি।
স্থানের প্রত্যেকটি বিন্দুতে যদি কোনো স্কেলার রাশির একটি নির্দিষ্ট মান বিদ্যমান থাকে, তবে ঐ স্থানকে স্কেলার ক্ষেত্র (Scalar Field) বলে। যেমন: তাপমাত্রা ক্ষেত্র।
একইভাবে, স্থানের প্রত্যেকটি বিন্দুতে কোনো ভেক্টর রাশির মান ও দিক নির্দিষ্ট থাকলে তাকে ভেক্টর ক্ষেত্র (Vector Field) বলে। যেমন: মহাকর্ষ ক্ষেত্র, তড়িৎ ক্ষেত্র।
| বৈশিষ্ট্য | স্কেলার রাশি | ভেক্টর রাশি |
|---|---|---|
| প্রকাশের জন্য প্রয়োজন | শুধু মান | মান ও দিক |
| যোগের নিয়ম | সাধারণ বীজগণিতীয় যোগ | ত্রিভুজ/সামান্তরিক সূত্র |
| ঋণাত্মক মান | থাকতে পারে (যেমন: তাপমাত্রা) | মান সর্বদা ধনাত্মক (মাইনাস চিহ্ন দিক নির্দেশ করে) |
| উদাহরণ | ভর, সময়, কাজ | বল, বেগ, টর্ক |
ভেক্টর বিভিন্ন ধরনের হতে পারে। HSC পরীক্ষায় যেসব ভেক্টরের প্রকারভেদ গুরুত্বপূর্ণ, সেগুলো নিচে আলোচনা করা হলো:
যে ভেক্টরের মান শূন্য এবং দিক অনির্ণেয়, তাকে শূন্য ভেক্টর বলে। চিহ্ন: \(\vec{0}\)। উদাহরণ: সমবেগে চলমান বস্তুর ত্বরণ। যখন কোনো ভেক্টরের আদি বিন্দু ও শেষ বিন্দু একই হয়, তখন সেটি শূন্য ভেক্টর।
যে ভেক্টরের মান ১ (একক), তাকে একক ভেক্টর বলে। এটি শুধুমাত্র দিক নির্দেশ করে।
কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় X, Y ও Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টরগুলোকে যথাক্রমে \(\hat{i}\), \(\hat{j}\) ও \(\hat{k}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যে সকল ভেক্টরের মান ও দিক একই, তাদের সমান ভেক্টর বলে। এদের অবস্থান ভিন্ন হতে পারে।
দুটি ভেক্টরের মান সমান কিন্তু দিক পরস্পর বিপরীত হলে একটিকে অপরটির বিপরীত ভেক্টর বলে। \(\vec{A}\) এর বিপরীত ভেক্টর হলো \(-\vec{A}\)।
সদৃশ ভেক্টর: একই দিকে ক্রিয়াশীল সমজাতীয় ভেক্টরসমূহ।
বিসদৃশ ভেক্টর: বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল সমজাতীয় ভেক্টরসমূহ।
যে সকল ভেক্টর একই সরলরেখায় বা সমান্তরাল সরলরেখায় ক্রিয়া করে, তাদের সমরেখ ভেক্টর বলে।
যে সকল ভেক্টর একই সমতলে বিদ্যমান, তাদের সমতলীয় ভেক্টর বলে।
যে ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্থির থাকে এবং ইচ্ছামত স্থানান্তর করা যায় না, তাকে সীমাবদ্ধ বা অবস্থান ভেক্টর বলে।
যে ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট নয় এবং মান ও দিক অপরিবর্তিত রেখে ইচ্ছামত সমান্তরালে স্থানান্তর করা যায়, তাকে স্বাধীন ভেক্টর বলে।
যে ভেক্টরের দিক মূল ভেক্টরের সমান কিন্তু মান মূল ভেক্টরের মানের বিপরীত (reciprocal), তাকে বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে। \(\vec{A}\) এর বিপ্রতীপ = \(\frac{1}{A}\hat{A}\)।
যেকোনো ভেক্টরকে পরস্পর লম্ব অক্ষ বরাবর বিশ্লেষণ করা যায়। এই প্রক্রিয়াকে ভেক্টরের বিভাজন বা Resolution বলে। ভেক্টরকে যে উপাংশগুলোতে ভাগ করা হয় তাদের ভেক্টরের উপাংশ (Components) বলে।
\(\vec{A}\) ভেক্টরটি X-অক্ষের সাথে \(\theta\) কোণে ক্রিয়া করলে:
আবার, উপাংশ জানা থাকলে মূল ভেক্টরের মান ও দিক বের করা যায়:
কোনো ভেক্টরকে কার্তেসীয় রূপে প্রকাশ করলে:
কোনো ভেক্টরের উপাংশের মান কখনোই মূল ভেক্টরের মানের চেয়ে বেশি হতে পারে না, কারণ \(\cos\theta\) ও \(\sin\theta\) এর সর্বোচ্চ মান ১।
যদি দুটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\vec{r_1} = x_1\hat{i} + y_1\hat{j} + z_1\hat{k}\) ও \(\vec{r_2} = x_2\hat{i} + y_2\hat{j} + z_2\hat{k}\) হয়, তাহলে প্রথম বিন্দু থেকে দ্বিতীয় বিন্দুর দিকে ভেক্টর:
দুটি ভেক্টরকে যদি একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু ক্রমানুসারে স্থাপন করা যায়, তাহলে তৃতীয় বাহুটি (বিপরীত ক্রমে) তাদের লব্ধি নির্দেশ করে।
দুটি ভেক্টরকে যদি একটি বিন্দু থেকে সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু রূপে অঙ্কন করা যায়, তবে ঐ বিন্দু থেকে অঙ্কিত সামান্তরিকের কর্ণটি তাদের লব্ধি নির্দেশ করে।
দুটি ভেক্টর \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে লব্ধি:
লব্ধি \(\vec{A}\) এর সাথে \(\alpha\) কোণ উৎপন্ন করলে:
| মধ্যবর্তী কোণ (θ) | অবস্থা | লব্ধি (R) |
|---|---|---|
| 0° (সমমুখী) | সর্বোচ্চ | \(R_{max} = A + B\) |
| 90° (লম্ব) | — | \(R = \sqrt{A^2 + B^2}\) |
| 180° (বিপরীতমুখী) | সর্বনিম্ন | \(R_{min} = |A - B|\) |
| যেকোনো θ (A = B হলে) | — | \(R = 2A\cos\frac{\theta}{2}\) |
দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান সর্বদা \(|A - B| \le R \le A + B\) এর মধ্যে থাকে।
ভেক্টর বিয়োগ মূলত একটি বিশেষ ধরনের যোগ। \(\vec{A} - \vec{B}\) বলতে বোঝায় \(\vec{A} + (-\vec{B})\)। অর্থাৎ, \(\vec{B}\) ভেক্টরের দিক উল্টিয়ে \(\vec{A}\) এর সাথে যোগ করা হয়।
দুইয়ের অধিক ভেক্টরকে একটি বহুভুজের বাহুগুলো রূপে ক্রমানুসারে স্থাপন করলে, বহুভুজের শেষ বাহু (আদি বিন্দু থেকে শেষ বিন্দু অর্থাৎ সমাপনী বাহু) তাদের লব্ধি নির্দেশ করে।
দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল হলো তাদের মানের গুণফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফল। ফলটি একটি স্কেলার রাশি।
কাজ (Work): \(W = \vec{F} \cdot \vec{d}\); দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়; ভেক্টরের লম্ব অবস্থান পরীক্ষা (\(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\) হলে পরস্পর লম্ব)।
দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল একটি নতুন ভেক্টর, যার মান হলো মূল ভেক্টরদ্বয়ের মানের ও তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের গুণফল এবং দিক মূল ভেক্টরদ্বয়ের সমতলের উপর লম্ব (ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে নির্ণীত)।
টর্ক: \(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\); কৌণিক ভরবেগ: \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{P}\); সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল: \(|\vec{A} \times \vec{B}|\); রৈখিক বেগ: \(\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}\)।
| গুণন | ফলাফল | ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| \(\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k}\) | \(1\) | একই ভেক্টরের ডট গুণন, θ = 0° |
| \(\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i}\) | \(0\) | পরস্পর লম্ব, θ = 90° |
| \(\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k}\) | \(\vec{0}\) | সমান্তরাল, θ = 0° |
| \(\hat{i} \times \hat{j}\) | \(\hat{k}\) | চক্রীয় ক্রম অনুসারে |
| \(\hat{j} \times \hat{k}\) | \(\hat{i}\) | চক্রীয় ক্রম অনুসারে |
| \(\hat{k} \times \hat{i}\) | \(\hat{j}\) | চক্রীয় ক্রম অনুসারে |
\(\vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = 0\) — কারণ \(\vec{A} \times \vec{B}\) ভেক্টরটি \(\vec{A}\) এর উপর লম্ব, আর পরস্পর লম্ব ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য।
ভেক্টর ক্যালকুলাস হলো ক্যালকুলাসের একটি শাখা যেখানে ভেক্টর ক্ষেত্র ও স্কেলার ক্ষেত্রের উপর ক্যালকুলাসের প্রয়োগ আলোচনা করা হয়। HSC পর্যায়ে মূলত তিনটি অপারেটর গুরুত্বপূর্ণ: Gradient, Divergence ও Curl।
ন্যাবলা বা ডেল (\(\nabla\)) হলো একটি ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটর:
কোনো স্কেলার ক্ষেত্র \(\varphi\) এর গ্রেডিয়েন্ট একটি ভেক্টর রাশি যা ঐ ক্ষেত্রের সর্বোচ্চ পরিবর্তনের হার ও দিক নির্দেশ করে।
পাহাড়ের উচ্চতা ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট আমাদের বলে দেয় কোন দিকে রাস্তা সবচেয়ে বেশি খাড়া। তড়িৎ ক্ষেত্র, \(\vec{E} = -\vec{\nabla}V\) (বিভবের ঋণাত্মক গ্রেডিয়েন্ট)।
কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স একটি স্কেলার রাশি যা ঐ ক্ষেত্রের কোনো বিন্দু থেকে প্রতি একক আয়তনে ফ্লাক্সের নির্গমন বা প্রবেশ নির্দেশ করে।
যে ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স শূন্য (\(\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0\)), তাকে সলিনয়েডাল ক্ষেত্র বলে। উদাহরণ: চৌম্বক ক্ষেত্র (\(\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0\))।
কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল একটি ভেক্টর রাশি যা ঐ ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে ঘূর্ণন প্রবণতা নির্দেশ করে।
যে ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল শূন্য (\(\vec{\nabla} \times \vec{A} = 0\)), তাকে অঘূর্ণনশীল বা সংরক্ষণশীল ক্ষেত্র বলে। উদাহরণ: মহাকর্ষ ক্ষেত্র, স্থিরতড়িৎ ক্ষেত্র।
| অপারেশন | ইনপুট | আউটপুট | ভৌত তাৎপর্য |
|---|---|---|---|
| গ্রেডিয়েন্ট (\(\nabla\varphi\)) | স্কেলার ক্ষেত্র | ভেক্টর | সর্বোচ্চ পরিবর্তনের দিক ও হার |
| ডাইভারজেন্স (\(\nabla \cdot \vec{A}\)) | ভেক্টর ক্ষেত্র | স্কেলার | উৎস বা নিমজ্জকের পরিমাণ |
| কার্ল (\(\nabla \times \vec{A}\)) | ভেক্টর ক্ষেত্র | ভেক্টর | ঘূর্ণন প্রবণতা |