পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র

২য় অধ্যায়: ভেক্টর — সূত্রাবলী

১. ভেক্টরের উপাংশ (Components)

X-উপাংশ
$$ A_x = A \cos\theta $$
Y-উপাংশ
$$ A_y = A \sin\theta $$
ভেক্টরের মান (2D)
$$ A = |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} $$
ভেক্টরের মান (3D)
$$ A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} $$
দিক কোণ
$$ \tan\alpha = \frac{A_y}{A_x} $$

২. ভেক্টর যোগ (Addition)

লব্ধির মান (সামান্তরিক / ত্রিভুজ সূত্র)
$$ R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB\cos\theta} $$
লব্ধির দিক
$$ \tan\alpha = \frac{B\sin\theta}{A + B\cos\theta} $$
বিশেষ ক্ষেত্র: θ = 0° (সমমুখী)
$$ R_{max} = A + B $$
বিশেষ ক্ষেত্র: θ = 180° (বিপরীতমুখী)
$$ R_{min} = |A - B| $$
বিশেষ ক্ষেত্র: θ = 90° (লম্ব)
$$ R = \sqrt{A^2 + B^2} $$
সমান মানের ভেক্টর (A = B)
$$ R = 2A\cos\frac{\theta}{2} $$

৩. ডট গুণন (Dot Product)

সংজ্ঞা
$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta $$
উপাংশ আকারে
$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z $$
কোণ নির্ণয়
$$ \cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} $$
একক ভেক্টরের ডট গুণন
$$ \hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1 $$
$$ \hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0 $$
কাজ (Work)
$$ W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta $$

৪. ক্রস গুণন (Cross Product)

সংজ্ঞা
$$ |\vec{A} \times \vec{B}| = AB\sin\theta $$
ডিটারমিন্যান্ট আকারে
$$ \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} $$
একক ভেক্টরের ক্রস গুণন
$$ \hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0 $$
$$ \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}, \quad \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}, \quad \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j} $$
বিনিময় সূত্র
$$ \vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A}) $$
ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না
টর্ক (Torque)
$$ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} $$
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
$$ \text{Area} = |\vec{A} \times \vec{B}| $$
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½|A × B|

৫. একক ভেক্টর (Unit Vector)

সংজ্ঞা
$$ \hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} $$
একক ভেক্টরের মান সর্বদা 1
উপাংশ রূপে ভেক্টর প্রকাশ
$$ \vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k} $$
দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী একক ভেক্টর
$$ \hat{r} = \frac{\vec{r_2} - \vec{r_1}}{|\vec{r_2} - \vec{r_1}|} $$
রৈখিক বেগ ও কৌণিক বেগের সম্পর্ক
$$ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $$

৬. ভেক্টর ক্যালকুলাস (Calculus)

গ্রেডিয়েন্ট (Gradient)
$$ \vec{\nabla}\varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \varphi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial \varphi}{\partial z}\hat{k} $$
স্কেলার ক্ষেত্রের সর্বোচ্চ পরিবর্তনের হার ও দিক নির্দেশ করে
ডাইভারজেন্স (Divergence)
$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} $$
ডাইভারজেন্স = 0 হলে সলিনয়েডাল ক্ষেত্র (যেমন: চৌম্বক ক্ষেত্র)
কার্ল (Curl)
$$ \vec{\nabla} \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} $$
কার্ল = 0 হলে অঘূর্ণনশীল / সংরক্ষণশীল ক্ষেত্র (যেমন: মহাকর্ষ ক্ষেত্র)
ল্যাপলাসিয়ান (Laplacian)
$$ \nabla^2 \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} $$
Back to Chapter