পদার্থবিজ্ঞানে কোনো বস্তুর অবস্থান বা গতি বর্ণনা করতে হলে একটি নির্দিষ্ট স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার প্রয়োজন হয়। এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাকেই প্রসঙ্গ কাঠামো বলে।
কোনো বস্তুর অবস্থান বা গতি বর্ণনার জন্য যে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা গ্রহণ করা হয় তাকে প্রসঙ্গ কাঠামো বলে।
| প্রকার | মাত্রা | অক্ষের সংখ্যা | উদাহরণ |
|---|---|---|---|
| একমাত্রিক | 1 | 1টি | সরলরেখায় গতিশীল বাস |
| দ্বিমাত্রিক | 2 | 2টি (X, Y) | প্রাসের গতি (XY তল) |
| ত্রিমাত্রিক | 3 | 3টি (X, Y, Z) | পাখির উড়ান |
কোন বস্তুর গতির বর্ণনার জন্য ত্রিমাত্রিক যে সুনির্দিষ্ট স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বিবেচনা করা হয় এবং যার সাপেক্ষে বস্তুটির গতি বর্ণনা করা হয় তাকে জড় প্রসঙ্গ কাঠামো বলে।
একমাত্রিক বস্তু: শুধুমাত্র একটি স্থানাঙ্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত। যেমন: সরু তার।
ত্রিমাত্রিক বস্তু: তিনটি স্থানাঙ্ক (X, Y, Z) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। যেমন: একটি বাক্স।
কোনো বস্তুর সব বিন্দুর স্থানাঙ্ক যদি সময় ও প্রসঙ্গ কাঠামোর সাপেক্ষে স্থির থাকে, তাহলে বস্তুর এ অবস্থাকে স্থিতি বলে।
পারিপার্শ্বিকের সাপেক্ষে সময়ের সাথে কোনো বস্তুর অবিরত স্থান পরিবর্তন করাকে বস্তুর গতি বলে।
প্রসঙ্গ বস্তু যদি প্রকৃতপক্ষে স্থির হয় তাহলে তার সাপেক্ষে যে বস্তু স্থিতিশীল রয়েছে সেও প্রকৃতপক্ষে স্থির। এ ধরনের স্থিতিকে পরম স্থিতি বলে। একইভাবে নিশ্চল কোনো প্রসঙ্গ কাঠামোর সাপেক্ষে বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তন হওয়াকে পরম গতি বলে।
পৃথিবী সূর্যের চারদিকে ঘুরছে, সূর্যও গ্যালাক্সির কেন্দ্রকে প্রদক্ষিণ করছে। তাই এই মহাবিশ্বে কোনো কিছুই প্রকৃত অর্থে স্থির নয়। সব স্থিতি ও গতিই আপেক্ষিক।
একটি গতিশীল বস্তু A এর সাপেক্ষে অপর বস্তু B এর বেগকে B এর আপেক্ষিক বেগ বলে।
A ট্রেন পূর্বদিকে 60 km/h বেগে এবং B ট্রেন পশ্চিমদিকে 40 km/h বেগে চলছে।
A এর সাপেক্ষে B এর বেগ = 60 + 40 = 100 km/h (পশ্চিমমুখী)
একই দিকে চললে: আপেক্ষিক বেগ = 60 − 40 = 20 km/h
দূরত্ব ≥ সরণের মান সবসময়।
চক্রাকার পথে একবার ঘুরে আসলে: দূরত্ব = পরিধি, কিন্তু সরণ = 0।
সরলরৈখিক গতিতে (একদিকে): দূরত্ব = সরণের মান।
প্রসঙ্গ বিন্দু O থেকে কোনো বিন্দু P পর্যন্ত আঁকা ভেক্টরকে P এর অবস্থান ভেক্টর বলে।
সরণ ভেক্টর: \(\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1\)
মোট সরণকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করলে গড় বেগ পাওয়া যায়।
সময় ব্যবধান শূন্যের কাছাকাছি হলে, সময়ের সাথে বস্তুর সরণের পরিবর্তনের হার।
কোনো বস্তু যদি নির্দিষ্ট দিকে সমান সময়ে সমান পথ অতিক্রম করে তাহলে ঐ বস্তুর বেগকে সুষম বেগ বলে।
একটি গতিশীল বস্তুর প্রথম ও শেষ বেগের যোগফলের অর্ধেক। সমত্বরণে প্রযোজ্য।
মোট অতিক্রান্ত পথকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করলে গড় দ্রুতি পাওয়া যায়।
গড় বেগ শূন্য হতে পারে (বৃত্তাকার পথে ফিরে আসলে), কিন্তু গড় দ্রুতি কখনো শূন্য হয় না।
বেগের মান = দ্রুতি — শুধুমাত্র তাৎক্ষণিক ক্ষেত্রে। গড়ের ক্ষেত্রে নয়।
একটি বস্তু A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে সরলরেখায় 100 m দূরত্ব 10 s এ গিয়ে আবার A-তে ফিরে আসে আরও 10 s এ।
গড় দ্রুতি = মোট দূরত্ব / মোট সময় = 200/20 = 10 m s⁻¹
গড় বেগ = মোট সরণ / মোট সময় = 0/20 = 0 m s⁻¹
নির্দিষ্ট দিকে সময়ের সাথে কোনো বস্তুর বেগের পরিবর্তনের হারকে ত্বরণ বলে।
ত্বরণ শূন্য মানে বেগ শূন্য নয়! শূন্য ত্বরণ মানে বেগ পরিবর্তনহীন (সুষম বেগ)।
সমদ্রুতিতে বৃত্তাকার গতিতে ত্বরণ শূন্য নয় — কারণ বেগের দিক বদলায় (কেন্দ্রমুখী ত্বরণ বিদ্যমান)।
সুষম ত্বরণে সরলরৈখিক গতির জন্য তিনটি মূল সমীকরণ:
এখানে: v₀ = আদিবেগ, v = শেষবেগ, a = ত্বরণ, s = সরণ, t = সময়।
কোনো বস্তু n-তম সেকেন্ডে (n-1 থেকে n সেকেন্ডের মধ্যে) যে সরণ করে:
একটি গাড়ি বিরামাবস্থা থেকে সুষম ত্বরণে 5 s এ 100 m দূরত্ব অতিক্রম করে। ত্বরণ ও শেষ বেগ নির্ণয় কর।
দেওয়া: v₀ = 0, s = 100 m, t = 5 s।
সমীকরণ (2) থেকে: \(100 = 0 \times 5 + \dfrac{1}{2} \times a \times 25\)
\(\Rightarrow a = \dfrac{200}{25} = 8 \text{ m s}^{-2}\)
সমীকরণ (1) থেকে: \(v = 0 + 8 \times 5 = \mathbf{40 \text{ m s}^{-1}}\)
একটি গাড়ি 72 km/h বেগে চলতে চলতে ব্রেক কষায় 4 s এ থেমে যায়। মন্দন ও থামার আগে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।
দেওয়া: v₀ = 72 km/h = 20 m s⁻¹, v = 0, t = 4 s।
সমীকরণ (1): \(0 = 20 + a \times 4 \Rightarrow a = -5 \text{ m s}^{-2}\) (মন্দন)
সমীকরণ (2): \(s = 20 \times 4 + \dfrac{1}{2} \times (-5) \times 16 = 80 - 40 = \mathbf{40 \text{ m}}\)
| s–t লেখচিত্র | অর্থ |
|---|---|
| অনুভূমিক সরলরেখা | বস্তু স্থির (v = 0) |
| সরলরেখা (ঊর্ধ্বগামী) | সুষম ধনাত্মক বেগ |
| সরলরেখা (নিম্নগামী) | সুষম ঋণাত্মক বেগ (বিপরীত দিকে) |
| বক্ররেখা (উপরে বাঁক) | ত্বরণশীল গতি |
| বক্ররেখা (নিচে বাঁক) | মন্দনশীল গতি |
যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল = তাৎক্ষণিক বেগ।
দুটি বিন্দু জোড়া সরলরেখার ঢাল = গড় বেগ।
| v–t লেখচিত্র | অর্থ |
|---|---|
| অনুভূমিক সরলরেখা | সুষম বেগ (a = 0) |
| ঊর্ধ্বমুখী সরলরেখা | সুষম ত্বরণ |
| নিম্নমুখী সরলরেখা | সুষম মন্দন |
| বক্ররেখা | অসুষম ত্বরণ বা মন্দন |
ঢাল = তাৎক্ষণিক ত্বরণ।
অক্ষের নিচের ক্ষেত্রফল = অতিক্রান্ত সরণ।
v–t লেখচিত্রে Y-অক্ষ ছেদক বিন্দু = আদিবেগ।
একটি v–t লেখচিত্রে: 0 থেকে 4 s পর্যন্ত v = 0 থেকে 20 m s⁻¹ পর্যন্ত বাড়ে (সরলরৈখিকভাবে)। তারপর 4 থেকে 8 s পর্যন্ত v = 20 m s⁻¹ সমান থাকে।
প্রথম 4 s এ সরণ = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × 4 × 20 = 40 m
পরবর্তী 4 s এ সরণ = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 4 × 20 = 80 m
মোট সরণ = 40 + 80 = 120 m
গ্যালিলিও (Galileo Galilei) পরীক্ষা-নিরীক্ষার মাধ্যমে প্রমাণ করেন যে বায়ু শূন্যতায় সকল বস্তু একই ত্বরণে পড়ে।
স্থির অবস্থান থেকে এবং একই উচ্চতা থেকে বিনা বাধায় পড়ন্ত সকল বস্তু সমান সময়ে সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
স্থির অবস্থান থেকে বিনা বাধায় পড়ন্ত বস্তুর নির্দিষ্ট সময়ে প্রাপ্ত বেগ ঐ সময়ের সমানুপাতিক।
স্থির অবস্থান থেকে বিনা বাধায় পড়ন্ত বস্তু নির্দিষ্ট সময়ে যে দূরত্ব অতিক্রম করে তা ঐ সময়ের বর্গের সমানুপাতিক।
গতির তিনটি সমীকরণে v₀ = 0 এবং a = g = 9.8 m s⁻² রাখলে:
পৃথিবীর পৃষ্ঠে g = 9.8 m s⁻² (প্রামাণিক মান)।
মেরু অঞ্চলে g বেশি, বিষুবীয় অঞ্চলে g কম।
উচ্চতা বাড়লে g কমে, গভীরতা বাড়লে g কমে।
পৃথিবীর কেন্দ্রে g = 0।
g এর মাত্রা: [LT⁻²], একক: m s⁻²।
খাড়া উপরের দিকে u বেগে নিক্ষিপ্ত বস্তু (a = −g):
| অবস্থা | বেগ | ত্বরণ | মন্তব্য |
|---|---|---|---|
| উপরে যাওয়ার সময় | ক্রমশ কমে | g (নিম্নমুখী) | মন্দন |
| সর্বোচ্চ বিন্দুতে | v = 0 | g (নিম্নমুখী) | বেগ শূন্য, ত্বরণ শূন্য নয় |
| নামার সময় | ক্রমশ বাড়ে | g (নিম্নমুখী) | ত্বরণ |
| শুরুর বিন্দুতে ফিরে | = u (বিপরীত দিকে) | g (নিম্নমুখী) | মান একই, দিক বিপরীত |
সর্বোচ্চ বিন্দুতে বেগ = 0, কিন্তু ত্বরণ = g = 9.8 m s⁻² (শূন্য নয়!)।
উঠতে ও নামতে সমান সময় লাগে।
ছোড়ার বেগ = মাটিতে পড়ার বেগ (মানের দিক থেকে)।
একটি বল 49 m s⁻¹ বেগে উপরে ছোড়া হলো। (g = 9.8 m s⁻²)
সর্বোচ্চ উচ্চতা: \(H = \dfrac{v^2}{2g} = \dfrac{49^2}{2 \times 9.8} = \dfrac{2401}{19.6} = \mathbf{122.5 \text{ m}}\)
মোট সময়: \(T = \dfrac{2u}{g} = \dfrac{2 \times 49}{9.8} = \mathbf{10 \text{ s}}\)
সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছাতে সময়: T/2 = 5 s
কোনো একটি বস্তুকে অনুভূমিকের সাথে θ₀ কোণে v₀ বেগে নিক্ষেপ করলে শুধুমাত্র অভিকর্ষজ ত্বরণের প্রভাবে দ্বিমাত্রিক পথে যে গতি হয় তাকে প্রক্ষেপক গতি এবং ওই বস্তুকে প্রাস বলে।
প্রক্ষেপক গতিকে দুটি স্বতন্ত্র গতির সমন্বয় হিসেবে দেখা যায়:
• অনুভূমিক: সুষম বেগ (কোনো ত্বরণ নেই, aₓ = 0)
• উল্লম্ব: অভিকর্ষজ ত্বরণের প্রভাবে সুষম ত্বরণশীল গতি (aᵧ = −g)
x ও y সমীকরণ থেকে t বাদ দিলে:
এটি একটি পরাবৃত্ত (Parabola) সমীকরণ।
| রাশি | সূত্র | সর্বোচ্চ কখন |
|---|---|---|
| সর্বোচ্চ উচ্চতা (H) | \(H = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta_0}{2g}\) | θ₀ = 90° হলে |
| বিচরণকাল (T) | \(T = \dfrac{2v_0\sin\theta_0}{g}\) | θ₀ = 90° হলে |
| আনুভূমিক পাল্লা (R) | \(R = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta_0}{g}\) | θ₀ = 45° হলে |
| সর্বোচ্চ উচ্চতায় বেগ | \(v = v_0\cos\theta_0\) | — |
একই বেগে দুটি পরিপূরক কোণে (θ এবং 90°−θ) নিক্ষেপ করলে পাল্লা সমান হয়।
যেমন: 30° ও 60° কোণে নিক্ষিপ্ত প্রাসের পাল্লা সমান।
সর্বোচ্চ বিন্দুতে: v_y = 0 কিন্তু v_x = v₀ cosθ₀ (শূন্য নয়)।
তাই সর্বোচ্চ বিন্দুতে বেগ = v₀ cosθ₀ (সর্বনিম্ন, কিন্তু শূন্য নয়)।
উল্লম্বভাবে নিক্ষেপ করলে (θ₀ = 90°): v₀ cosθ₀ = 0, তখন শূন্য — কিন্তু সেটি প্রাস নয়।
একটি বস্তুকে 25 m s⁻¹ বেগে 30° কোণে ছোড়া হলো। (g = 9.8 m s⁻²)
পাল্লা: \(R = \dfrac{(25)^2 \sin 60°}{9.8} = \dfrac{625 \times 0.866}{9.8} = \mathbf{55.23 \text{ m}}\)
বিচরণকাল: \(T = \dfrac{2 \times 25 \times \sin 30°}{9.8} = \dfrac{25}{9.8} = \mathbf{2.55 \text{ s}}\)
সর্বোচ্চ উচ্চতা: \(H = \dfrac{(25)^2\sin^2 30°}{2 \times 9.8} = \dfrac{625 \times 0.25}{19.6} = \mathbf{7.97 \text{ m}}\)
একই বেগে (20 m s⁻¹) 30° এবং 60° কোণে নিক্ষেপ করলে পাল্লা তুলনা কর।
30° এ: \(R_1 = \dfrac{(20)^2\sin 60°}{9.8} = \dfrac{400 \times 0.866}{9.8} = 35.35 \text{ m}\)
60° এ: \(R_2 = \dfrac{(20)^2\sin 120°}{9.8} = \dfrac{400 \times 0.866}{9.8} = 35.35 \text{ m}\)
উভয়ের পাল্লা সমান — 30° ও 60° পরস্পর পরিপূরক কোণ।
30 m s⁻¹ বেগে 40° কোণে নিক্ষিপ্ত প্রাস 1.97 s পর সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছায়। ওই বিন্দুতে বেগ নির্ণয় কর।
\(v = v_0\cos\theta_0 = 30 \times \cos 40° = 30 \times 0.766 = \mathbf{22.98 \text{ m s}^{-1}}\)
দিক: অনুভূমিক।
বৃত্তাকার পথে চলমান কোনো বস্তুর গতিকে বৃত্তীয় গতি বলে। সুষম দ্রুতিতে বৃত্তাকার গতিকে সুষম বৃত্তীয় গতি (UCM) বলে।
কেন্দ্রকে ঘিরে বস্তু যে কৌণিক দূরত্ব অতিক্রম করে। একক: রেডিয়ান (rad)।
সময়ের সাথে কৌণিক সরণের পরিবর্তনের হার। একক: rad s⁻¹।
\(\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}\), মানের দিক থেকে: \(v = \omega r\)
বৃত্তাকার পথে কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়াশীল ত্বরণ।
বৃত্তাকার পথে বস্তুকে ধরে রাখার জন্য কেন্দ্রের দিকে প্রয়োজনীয় বল।
| রাশি | রৈখিক গতি | বৃত্তীয় গতি |
|---|---|---|
| সরণ | s (m) | θ (rad) |
| বেগ | v (m s⁻¹) | ω (rad s⁻¹) |
| ত্বরণ | a (m s⁻²) | α (rad s⁻²) |
| একক সম্পর্ক | s = rθ | v = rω |
| মাত্রা (বেগ) | [LT⁻¹] | [T⁻¹] |
রৈখিক ত্বরণের একক: m s⁻², মাত্রা: [LT⁻²]
কৌণিক ত্বরণের একক: rad s⁻², মাত্রা: [T⁻²]
A বিন্দুতে বেগ \(\vec{v}_A\) এবং ক্ষুদ্র সময় Δt পরে B বিন্দুতে বেগ \(\vec{v}_B\)। কৌণিক সরণ Δθ খুব ক্ষুদ্র হলে:
একটি বস্তু 0.4 m ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার পথে 3 rad s⁻¹ কৌণিক বেগে ঘুরছে। কেন্দ্রমুখী ত্বরণ নির্ণয় কর।
\(v = \omega r = 3 \times 0.4 = 1.2 \text{ m s}^{-1}\)
\(a_c = \omega^2 r = (3)^2 \times 0.4 = 9 \times 0.4 = \mathbf{3.6 \text{ m s}^{-2}}\)
অথবা: \(a_c = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{(1.2)^2}{0.4} = \dfrac{1.44}{0.4} = \mathbf{3.6 \text{ m s}^{-2}}\)
একটি পাখার পাখনার দৈর্ঘ্য 0.5 m। পাখাটি 300 rpm এ ঘুরছে। পাখনার প্রান্তের রৈখিক বেগ নির্ণয় কর।
\(\omega = \dfrac{2\pi \times 300}{60} = 10\pi \approx 31.42 \text{ rad s}^{-1}\)
\(v = \omega r = 31.42 \times 0.5 = \mathbf{15.71 \text{ m s}^{-1}}\)
| রাশি | সূত্র | একক |
|---|---|---|
| গড় বেগ | \(\bar{v} = \Delta r / \Delta t\) | m s⁻¹ |
| তাৎক্ষণিক বেগ | \(v = dr/dt\) | m s⁻¹ |
| গড় ত্বরণ | \(\bar{a} = \Delta v / \Delta t\) | m s⁻² |
| গতির ১ম সমীকরণ | \(v = v_0 + at\) | m s⁻¹ |
| গতির ২য় সমীকরণ | \(s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) | m |
| গতির ৩য় সমীকরণ | \(v^2 = v_0^2 + 2as\) | — |
| n-তম সেকেন্ডে সরণ | \(s_n = v_0 + \frac{a}{2}(2n-1)\) | m |
| পড়ন্ত বস্তুর উচ্চতা | \(h = \frac{1}{2}gt^2\) | m |
| প্রাসের পাল্লা | \(R = v_0^2\sin 2\theta_0 / g\) | m |
| প্রাসের উচ্চতা | \(H = v_0^2\sin^2\theta_0 / (2g)\) | m |
| প্রাসের বিচরণকাল | \(T = 2v_0\sin\theta_0 / g\) | s |
| প্রাসের গতিপথ | \(y = x\tan\theta_0 - gx^2/(2v_0^2\cos^2\theta_0)\) | — |
| কৌণিক বেগ | \(\omega = d\theta/dt = 2\pi f\) | rad s⁻¹ |
| রৈখিক–কৌণিক সম্পর্ক | \(v = \omega r\) | m s⁻¹ |
| কেন্দ্রমুখী ত্বরণ | \(a_c = v^2/r = \omega^2 r\) | m s⁻² |
| কেন্দ্রমুখী বল | \(F_c = mv^2/r = m\omega^2 r\) | N |
✅ প্রসঙ্গ কাঠামোর প্রকারভেদ জানা আছে।
✅ সরণ ও দূরত্বের পার্থক্য মনে আছে।
✅ গড় বেগ বনাম গড় দ্রুতির পার্থক্য স্পষ্ট।
✅ তাৎক্ষণিক বেগ = s–t লেখচিত্রের ঢাল।
✅ তাৎক্ষণিক ত্বরণ = v–t লেখচিত্রের ঢাল।
✅ v–t লেখচিত্রের ক্ষেত্রফল = সরণ।
✅ 45° কোণে পাল্লা সর্বোচ্চ।
✅ পরিপূরক কোণে পাল্লা সমান।
✅ সর্বোচ্চ বিন্দুতে বেগ শূন্য নয়, ত্বরণও শূন্য নয়।
✅ কেন্দ্রমুখী ত্বরণ = v²/r, দিক কেন্দ্রের দিকে।
✅ বৃত্তাকার গতিতে v ও a পরস্পর লম্ব।